1991年全国卷理科数学

1. 已知 $\displaystyle \sin\alpha = \frac{4}{5}$, 并且 $\alpha$ 是第二象限的角, 那么 $\tan\alpha$ 的值等于（　　）

2. 焦点在 $(-1,0)$, 顶点在 $(1,0)$ 的抛物线方程是（　　）

3. 函数 $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ 的最小正周期是（　　）

4. 如果把两条异面直线看成“一对”, 那么六棱锥的棱所在的 $12$ 条直线中, 异面直线共有（　　）

5. 函数 $\displaystyle y = \sin (2x+\frac{5\pi}{4})$ 的图象的一条对称轴的方程是（　　）

6. 如果三棱锥 $S-ABC$ 的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点 $S$ 在底面的射影 $O$ 在 $\triangle ABC$ 内, 那么 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的（　　）

7. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列, 且 $a_{n} > 0$, $a_{2}a_{4} + 2a_{3}a_{5} + a_{4}a_{6} = 25$, 那么 $a_{3}+a_{5}$ 的值等于（　　）

8. 如果圆锥曲线的极坐标方程为 $\displaystyle \rho = \frac{16}{5-3\cos\theta}$, 那么它的焦点的极坐标为（　　）

9. 从 $4$ 台甲型和 $5$ 台乙型电视机中任意取出 $3$ 台, 其中至少要有甲型与乙型电视机各 $1$ 台, 则不同的取法共有（　　）

10. 如果 $AC < 0$ 且 $BC < 0$, 那么直线 $Ax+By+C=0$ 不通过（　　）

11. 设甲、乙、丙是三个命题, 如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件, 那么（　　）

12. $\lim\limits_{n\to\infty}[ (1-\frac{1}{2^{2}}) (1-\frac{1}{3^{2}}) (1-\frac{1}{4^{2}}) \dots (1+\frac{1}{n^{2}}) ]$ 的值等于（　　）

13. 如果奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,7]$ 上是增函数且最小值为 $5$, 那么 $f(x)$ 在区间 $[-7,-3]$ 上是（　　）

14. 圆 $x^{2}+2x+y^{2}+4y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有（　　）

15. 设全集为 $R$, $f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos x$, $M = \{x \mid f(x) \neq 0\}$, $N = \{x \mid g(x) \neq 0\}$, 那么集合 $\left\{x \mid f(x)g(x)=0\right\}$ 等于（　　）

16. $\displaystyle \arctan 1 + \frac{1}{2}\arctan \frac{1}{3}$ 的值是

17. 不等式 $6^{x^2+x-2}< 1$ 的解集是______.

18. 已知正三棱台上底面边长为 $2$, 下底面边长为 $4$, 且侧棱与底面所成的角是 $45^{\circ}$, 那么这个正三棱台的体积等于______.

19. $(ax+1)^{n}$ 的展开式中, $x^{3}$ 的系数是 $x^{2}$ 的系数与 $x^{4}$ 的系数的等差中项, 若实数 $a > 1$, 那么 $a =$.

20. 在球面上有四个点 $P, A, B, C$. 如果 $PA, PB, PC$ 两两互相垂直, 且 $PA=PB=PC=a$. 那么这个球面的面积是.

21. 求函数 $y = \sin^{2} x + 2\sin x \cos x + 3\cos^{2} x$ 的最小值, 并写出使函数 $y$ 取最小值的 $x$ 的集合.

22. 已知复数 $z = 1+i$, 求复数 $\displaystyle \frac{z^{2}-3z+6}{z+1}$ 的模和辐角的主值.

23. 已知 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形, $E, F$ 分别是 $AB, AD$ 的中点, $GC$ 垂直于 $ABCD$ 所在的平面, 且 $GC=2$. 求点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离.

📐 [图：正方形ABCD，E为AB中点，F为AD中点，GC垂直于平面ABCD]

24. 根据函数单调性的定义, 证明函数 $f(x) = -x^{3}+1$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是减函数.

25. 已知 $n$ 为自然数, 实数 $a > 1$, 解关于 $x$ 的不等式: $\log_{a} x - 4\log_{a^2}x + 12\log_{a^3}x + \dots + n(-2)^{n-1}\log_{a^n}x > \frac{1-(-2)^{n}}{3}\log_{a} (x^{2}-a)$.

26. 双曲线的中心在坐标原点 $O$, 焦点在 $x$ 轴上, 过双曲线右焦点且斜率为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线交双曲线于 $P, Q$ 两点. 若 $OP \perp OQ, |PQ|=4$, 求双曲线的方程.