1983年全国卷文科

1. 在直角坐标系内,函数 $y= |x|$ 的图象（　　）

2. 抛物线 $x^{2}+y=0$ 的焦点位于（　　）

3. 两条异面直线,指的是（　　）

4. 对任何 $180° < \alpha < 360°$, $\displaystyle \cos \frac{\alpha}{2}$ 的值等于（　　）

5. $0.3^{2}, \log_{2} 0.3, 2^{0.3}$ 这三个数之间的大小顺序是（　　）

6. 在平面直角坐标系内,表中的方程表示什么图形?画出这些图形.

7. (1) 求函数 $y = \sqrt{x}+ 5\log_{2}(36-x^{2})$ 的定义域.

8. 已知复数 $z = \cos \alpha + i \sin \alpha$,求证: $\displaystyle z^{3} + \frac{1}{z^{3}}= 2 \cos 3\alpha$.

9. 在圆心为 $O$、半径为常数 $R$ 的半圆板内画内接矩形 (如图),当矩形的长和宽各取多少时,矩形的面积最大?求出这个最大面积.

10. 如图,地平面上有一旗杆 $OP$,为了测得它的高度 $h$,在地面上选一基线 $AB, AB = 20$ 米,在 $A$ 点处测得 $P$ 点的仰角 $\angle OAP=30°$,在 $B$ 点处测得 $P$ 点的仰角 $\angle OBP = 45°$,又测得 $\angle AOB = 60°$,求旗杆的高度 $h$ (结果可以保留根号).

11. 如图,已知一块直角三角形板 $ABC$ 的 $BC$ 边在平面内, $\angle ABC = 60°$, $\angle ACB = 30°$, $BC = 24$ cm, $A$ 点在平面内的射影为 $N, AN = 9$ cm.求以 $A$ 为顶点的三棱锥 $A-NBC$ 的体积(结果可以保留根号).

12. 一个等比数列有三项,如果把第二项加上 $4$,那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这等差数列的第三项加上 $32$,那么所得的三项又成等比数列,求原来的等比数列.

13. 如图,已知两条直线 $L_{1}: 2x-3y+2=0, L_{2}: 3x-2y+3=0$.有一动圆 (圆心和半径都在变动)与 $L_{1}, L_{2}$ 都相交,并且 $L_{1}, L_{2}$ 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 $26, 24$.求圆心 $M$ 的轨迹方程,并说出轨迹的名称.