1994年全国卷理

1. 设全集 $I = \{0, 1, 2, 3, 4\}$, 集合 $A = \{0, 1, 2, 3\}$, 集合 $B = \{2, 3, 4\}$, 则 $A \cup B =$（　　）

2. 如果方程 $x^{2}+ky^{2}=2$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆, 那么实数 $k$ 的取值范围是（　　）

3. 极坐标方程 $\displaystyle \rho = \cos(\frac{\pi}{3}-\theta)$ 所表示的曲线是（　　）

4. 设 $\theta$ 是第二象限的角, 则必有（　　）

5. 某种细菌在培养过程中, 每 $20$ 分钟分裂一次(一个分裂为两个). 经过 $3$ 小时, 这种细菌由 $1$ 个可繁殖成（　　）

6. 在下列函数中, 以 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 为周期的函数是（　　）

7. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为 $2$ 和 $4$, 高为 $2$, 则其体积为（　　）

8. 设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\displaystyle x^{2} - \frac{y^{2}}{4}= 1$ 的两个焦点, 点 $P$ 在双曲线上且满足 $\angle F_{1}PF_{2} = 90^{\circ}$, 则 $\triangle F_{1}PF_{2}$ 的面积是（　　）

9. 如果复数 $z$ 满足 $|z+i|+|z-i|=2$, 那么 $|z+i+1|$ 的最小值是（　　）

10. 有甲、乙、丙三项任务, 甲需 $2$ 人承担, 乙、丙各需 $1$ 人承担. 从 $10$ 人中选派 $4$ 人承担这三项任务, 不同的选法共有（　　）

11. 对于直线 $m、n$ 和平面 $\alpha、\beta$, $\alpha \perp \beta$ 的一个充分条件是（　　）

12. 设函数 $f(x) = 1 - \sqrt{1 - x^{2}}$ ($-1 \le x \le 0$), 则函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图象是 ()

📐 待生成图：函数y=f-1(x)的图象

（　　）

13. 已知过球面上 $A、B、C$ 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 $AB = BC = CA = 2$, 则球面面积是（　　）

14. 函数 $y = \arccos(\sin x)$ ($\displaystyle - \frac{\pi}{2}< x < \frac{3\pi}{2}$) 的值域是（　　）

15. 定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的任意函数 $f(x)$ 都可以表示成一个奇函数 $g(x)$ 和一个偶函数 $h(x)$ 之和, 如果 $f(x) = \lg(10^{x} + 1)$, $x \in (-\infty, +\infty)$, 那么（　　）

16. 在 $(3-x)^{9}$ 的展开式中, $x^{5}$ 的系数是 $\_$ (用数字作答)

17. 抛物线 $y^{2} = 8-4x$ 的准线方程是 $\_$, 圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 $\_$.

18. 已知 $\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$, $\theta \in (0, \pi)$, 则 $\cot \theta$ 的值是 $\_$.

19. 设圆锥底面圆周上两点 $A、B$ 间的距离为 $2$, 圆锥顶点到直线 $AB$ 的距离为 $\sqrt{3}$, $AB$ 和圆锥的轴的距离为 $1$, 则该圆锥的体积为 $\_$.

20. 在测量某物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使得 $n$ 次测量分别得到 $a_{1}, a_{2},\dots, a_{n}$, 共 $n$ 个数据, 我们规定所测量物理量的“最佳近似值”$\hat{a}$ 是这样一个量: 与其他近似值比较, $\hat{a}$ 与各数据的差的平方和最小, 依此规定, 从 $a_{1}, a_{2},\dots, a_{n}$ 推出的 $\hat{a}= \_.$

21. 已知 $z = 1 + i$.

(1) 设 $w = z^{2}+3z-4$, 求 $w$ 的三角形式;

(2) 如果 $\displaystyle \frac{z^{2} + az + b}{z^{2}-z+1}= 1-i$, 求实数 $a, b$ 的值.

22. 已知函数 $\displaystyle f(x) = \tan x, x \in (0, \frac{\pi}{2})$. 若 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$, 且 $x_{1} \neq x_{2}$, 证明: $\displaystyle \frac{1}{2}[f(x_{1}) + f(x_{2})] > f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

23. 如图,已知 $A_{1}B_{1}C_{1}-ABC$ 是正三棱柱, $D$ 是 $AC$ 中点.

(1) 证明: $AB_{1} //$ 平面 $DBC_{1}$;

(2) 假设 $AB_{1} \perp BC_{1}$, 求以 $BC_{1}$ 为棱, $DBC_{1}$ 与 $CBC_{1}$ 为面的二面角 $\alpha$ 的度数.

📐 待生成图：正三棱柱A1B1C1-ABC, D是AC中点

24. 已知直线 $l$ 过坐标原点, 抛物线 $C$ 顶点在原点, 焦点在 $x$ 轴正半轴上, 若点 $A(-1,0)$ 和点 $B(0,8)$ 关于 $l$ 的对称点都在 $C$ 上, 求直线 $l$ 和抛物线 $C$ 的方程.

25. 设 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且对于所有的自然数 $n$, $a_{n}$ 与 $2$ 的等差中项等于 $S_{n}$ 与 $2$ 的等比中项.

(1) 写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $3$ 项;

(2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 (写出推证过程);

(3) 令 $\displaystyle b_{n} = \frac{2a_{n+1}}{a_{n}}+ \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ ($n \in N$), 求 $\lim\limits_{n\to\infty}(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n} - n)$.