2000年上海卷理

1. 已知向量 $\overrightarrow{OA}= (-1,2)$、$\overrightarrow{OB}= (3, m)$, 若 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$, 则 $m = \_$

2. 函数 $\displaystyle y = \log_{2} \frac{2x - 1}{3-x}$ 的定义域为 $\_$

3. 圆锥曲线 $\begin{cases}x = 4\sec\theta + 1, \\ y = 3\tan\theta,\end{cases}$ 的焦点坐标是 $\_$

4. 计算: $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}= \_$

5. 已知 $f(x) = 2^{x} + b$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$, 若 $y = f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $Q(5,2)$, 则 $b = \_$.

6. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告, 1999 年上海市完成 GDP (GDP 是指国内生产总值) 4035 亿元, 2000 年上海市 GDP 预期增长 9%, 市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%, 若 GDP 与人口均按这样的速度增长, 则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍, 至少需 $\_{\text{年}}$.

按: 1999 年本市常住人口总数约 1300 万.

7. 命题 A: 底面为正三角形, 且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥, 命题 A 的等价题 B 可以是: 底面为正三角形, 且 $\_{\_}$ 的三棱锥是正三棱锥.

8. 设函数 $y = f(x)$ 是最小正周期为 $2$ 的偶函数, 它在区间 $[0,1]$ 上的图象为如图所示的线段 AB, 则在区间 $[1,2]$ 上 $f(x) = \_$.

9. 在二项式 $(x - 1)^{11}$ 的展开式中, 系数最小的项的系数为 $\_$. (结果用数值表示)

10. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 $3$ 面, 在每种颜色的 $3$ 面旗帜上分别标上号码 $1、2$ 和 $3$, 现任取出 $3$ 面, 它们的颜色与号码均不相同的概率是 $\_$

11. 在极坐标系中, 若过点 $(3,0)$ 且与极轴垂直的直线交曲线 $\rho=4\cos\theta$ 于 A, B 两点, 则 $|AB| = \_$

12. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中, 若 $a_{10}= 0$, 则有等式 $a_{1}+a_{2}+ ... + a_{n} = a_{1}+a_{2}+ ... + a_{19-n}$ ($n < 19, n \in N^{*}$) 成立, 类比上述性质, 相应地: 在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中, 若 $b_{9} = 1$, 则有等式 $\_$ 成立.

13. 复数 $\displaystyle z = -3(\cos \frac{\pi}{5}- i\sin \frac{\pi}{5})$ ($i$ 是虚数单位) 的三角形式是（　　）

14. 设有不同的直线 $a、b$ 和不同的平面 $\alpha、\beta、\gamma$, 给出下列三个命题:

①若 $a \parallel \alpha, b \parallel \alpha$, 则 $a \parallel b$;

②若 $a \parallel \alpha, \alpha \parallel \beta$, 则 $a \parallel \beta$;

③若 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 则 $\alpha \parallel \beta$. 其中正确的个数是（　　）

15. 若集合 $S = \{y | y = 3^{x}, x \in R\}$, $T = \{y | y = x^{2} - 1, x \in R\}$, 则 $S \cap T$ 是（　　）

16. 下列命题中正确的命题是（　　）

17. 已知椭圆 C 的焦点分别为 $F_{1}(-2\sqrt{2},0)$ 和 $F_{2}(2\sqrt{2},0)$, 长轴长为 $6$, 设直线 $y=x+2$ 交椭圆 C 于 A、B 两点, 求线段 AB 的中点坐标.

18. 如图所示四面体 ABCD 中, AB、BC、BD 两两互相垂直, 且 $AB = BC = 2$, E 是 AC 中点, 异面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为 $\displaystyle \arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$, 求四面体 ABCD 的体积.

19. 已知函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x^{2} + 2x + a}{x}$, $x \in [1, +\infty)$.

(1) 当 $\displaystyle a = -\frac{1}{2}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最小值;

(2) 若对任意 $x \in [1, +\infty)$, $f(x) > 0$ 恒成立, 试求实数 $a$ 的取值范围.

20. 根据指令 $(r, \theta)$ ($r \ge 0, -180^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$), 机器人在平面上能完成下列动作: 先原地旋转角度 $\theta$ ($\theta$ 为正时, 按逆时针方向旋转 $\theta$, $\theta$ 为负时, 按顺时针方向旋转 $-\theta$), 再朝其面对的方向沿直线行走距离 $r$.

(1) 现机器人在直角坐标系的坐标原点, 且面对 $x$ 轴正方向, 试给机器人下一个指令, 使其移动到点 $(4,4)$;

(2) 机器人在完成该指令后, 发现在点 $(17,0)$ 处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动, 已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 $2$ 倍, 若忽略机器人原地旋转所需的时间, 问机器人最快可在何处截住小球? 并给出机器人截住小球所需的指令. (结果精确到小数点后两位)

21. 在 $xOy$ 平面上有一点列 $P_{1}(a_{1},b_{1}), P_{2}(a_{2}, b_{2}),..., P_{n}(a_{n}, b_{n}), ...$, 对每个自然数 $n$, 点 $P_{n}$ 位于函数 $\displaystyle y = 2000(1 - \frac{a}{10})^{n}$ ($0 < a < 10$) 的图象上, 且点 $P_{n}$, 点 $(n,0)$ 与点 $(n+1,0)$ 构成一个以 $P_{n}$ 为顶点的等腰三角形.

(1) 求点 $P_{n}$ 的纵坐标 $b_{n}$ 的表达式;

(2) 若对每个自然数 $n$, 以 $b_{n}, b_{n+1}, b_{n+2}$ 为边长能构成一个三角形, 求 $a$ 取值范围;

(3) 设 $C_{n} = \lg(b_{n})$ ($n \in N$), 若 $a$ 取 (2) 中确定的范围内的最小整数, 问数列 $\{C_{n}\}$ 前多少项的和最大? 试说明理由.

22. 已知复数 $z_{0} = 1-mi$ ($m > 0$), $z = x+yi$ 和 $w = x'+y'i$, 其中 $x,y,x',y'$ 均为实数, $i$ 为虚数单位, 且对于任意复数 $z$, 有 $w = z_{0} z, |w| = 2|z|$.

(1) 试求 $m$ 的值, 并分别写出 $x'$ 和 $y'$ 用 $x、y$ 表示的关系式;

(2) 将 $(x,y)$ 作为点 P 的坐标, $(x', y')$ 作为点 Q 的坐标, 上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换: 它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q, 当点 P 在直线 $y=x+1$ 上移动时, 试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹方程;

(3) 是否存在这样的直线: 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上? 若存在, 试求出所有这些直线; 若不存在, 则说明理由.