2003年广东卷

1. 在同一坐标系中,表示直线 $y=ax$ 与 $y=x+a$ 正确的是 ().（　　）

2. 已知 $x \in (-\dfrac{\pi}{2},0)$, $\cos x = \dfrac{4}{5}$, 则 $\tan 2x =$ ().（　　）

3. 圆锥曲线 $\rho = \dfrac{8 \sin\theta}{\cos^2\theta}$ 的准线方程是 ().（　　）

4. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 中, 已知 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=4, a_{n}=33$, 则 $n$ 为 ().（　　）

5. 双曲线虚轴的一个端点为 $M$, 两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, $\angle F_{1}MF_{2} = 120^{\circ}$, 则双曲线的离心率为 ().（　　）

6. 设函数 $f(x) = \begin{cases}x^{2},&x \le 0, \\ 2^{x}-1,&x > 0,\end{cases}$ 若 $f(x_{0}) > 1$, 则 $x_{0}$ 的取值范围是 ().（　　）

7. 函数 $y = 2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值为 ().（　　）

8. 已知圆 $C: (x-a)^{2} + (y-2)^{2} = 4 \quad (a > 0)$ 及直线 $l: x-y+3=0$, 当直线 $l$ 被 $C$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$ 时, $a$ 的值等于 ().（　　）

9. 已知圆锥的底面半径为 $R$, 高为 $3R$, 在它的所有内接圆柱中, 全面积的最大值是 ().（　　）

10. 函数 $f(x) = \sin x$, $x \in [\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}]$ 的反函数 $f^{-1}(x) =$ ().（　　）

11. 已知长方形的四个顶点 $A(0,0), B(2,0), C(2,1)$ 和 $D(0,1)$, 一质点从 $AB$ 的中点 $P_{0}$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_{1}$ 后, 依次反射到 $CD$、$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_{2}$、$P_{3}$ 和 $P_{4}$ (入射角等于反射角), 设 $P_{4}$ 的坐标为 $(x_{4},0)$, 若 $1 < x_{4} < 2$, 则 $\tan \theta$ 的取值范围是 ().（　　）

12. 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 ().（　　）

13. 不等式 $\sqrt{4x-x^{2}}< x$ 的解集是 $\underline{\qquad}$.

14. $(x^{2} - \dfrac{1}{x})^{9}$ 的展开式中 $x$ 系数是 $\underline{\qquad}$.

15. 在平面几何里, 有勾股定理:“设 $\triangle ABC$ 的两边 $AB, AC$ 互相垂直, 则 $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$. ”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥 $A-BCD$ 的三个侧面 $ABC, ACD, ADB$ 两两互相垂直, 则 $\underline{\qquad}$. ”

16. 如图, 一个地区分为 $5$ 个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻地区不得使用同一颜色, 现有 $4$ 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有 $\underline{\qquad}$ 种 (以数字作答)

17. 已知正四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, $AB = 1$, $AA_{1} = 2$, $E$ 为 $CC_{1}$ 中点, $F$ 为 $BD_{1}$ 中点.

(1) 证明: $EF$ 为 $BD_{1}$ 与 $CC_{1}$ 的公垂线;

(2) 求点 $D_{1}$ 到面 $BDE$ 的距离.

18. 已知复数的辐角为 $60^{\circ}$, 且 $|z-1|$ 是 $|z|$ 和 $|z-2|$ 的等比中项, 求 $|z|$.

19. 已知 $c > 0$, 设 $P$: 函数 $y=c^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减; $Q$: 不等式 $x^{2}+|x|-2c > 1$ 的解集为 $\mathbf{R}$. 如果 $P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确, 求 $c$ 的取值范围.

20. 在某海滨城市附近海面有一台风, 据监测, 当前台风中心位于城市 $O$ (如图) 的东偏南 $\theta_{0} = \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{10}$ 方向 $300$ km 的海面 $P$ 处, 并以 $20$ km/h 的速度向西偏北 $45^{\circ}$ 方向移动, 台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为 $60$ km, 并以 $10$ km/h 的速度不断增大, 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

21. 已知常数 $a>0$, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 4$, $BC = 4a$, $O$ 为 $AB$ 的中点, 点 $E, F, G$ 分别在 $BC, CD, DA$ 上移动, 且 $\dfrac{BE}{BC}= \dfrac{CF}{CD}= \dfrac{DG}{DA}$, $P$ 为 $GE$ 与 $OF$ 的交点 (如图), 问是否存在两个定点, 使 $P$ 到这两点的距离的和为定值? 若存在, 求出这两点的坐标及此定值; 若不存在, 请说明理由.

22. 设 $a_{0}$ 为常数, 且 $a_{n} = 3^{n-1}- 2a_{n-1}\quad (n \in \mathbf{N}^{*})$.

(1) 证明对任意 $n \ge 1$, $a_{n} = \dfrac{1}{3}[3^{n} + (-1)^{n-1}\cdot 2^{n}] + (-1)^{n} \cdot 2a_{0}$;

(2) 假设对任意 $n \ge 1$ 有 $a_{n} > a_{n-1}$, 求 $a_{0}$ 的取值范围.