端午假期作业

1. 已知集合 $A = \{x|2\leq x<4\}$, $B=\{x|3x-7\geq 8-2x\}$,则 $A\cap B=$（　　）

2. 已知复数 $(1-2i)z=5$,则 $z=$（　　）

3. 如图,$\triangle ABC$ 中, $AD=2DB$, $BE=EC$,设 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$, $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$,则 $\overrightarrow{DE}=$

（　　）

4. 某种产品的加工需要经过 $5$ 道工序,如果其中的 $a、b$ 两道工序必须相邻,则加工顺序共有（　　）

5. 已知等差数列$\{a_{n}\}$的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, $S_{3}= 2S_{6}= 6$,则 $S_{9}=$（　　）

6. 为了检测某种药物对预防疾病 $B$ 的效果,进行了小动物试验,得到如下列联表:

已知 $χ^{2}= \dfrac{n(ad -bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, $P(χ^{2}\geq 3.841)=0.05$. 根据小概率值 $\alpha = 0.05$ 的独立性检验,则下列结论正确的是（　　）

7. 某运动质点位移 $y$ 与时间 $t$ 之间的关系为 $y=\sin t+\dfrac{1}{2}\sin 2t$,则该质点的最大瞬时速度是（　　）

8. 今年某企业投产高新设备,合格品全部销售完毕,预设第 $n$ 个月将实现销量倍增的目标.已知每月产量在前一个月的基础上提高 $10\%$,第 $1$ 个月产品合格率为 $90\%$,前 $9$ 个月合格率每月增加 $1\%$,之后合格率保持不变,则 $n$ 的值为 $(n\in\mathbf{N}^{*}$ 且 $n\leq 12$,参考数据: $1.7<1.1^{16}<1.8, 1.9<1.1^{17}<2)$（　　）

9. 设随机变量 $X \sim N(0,2^{2})$,随机变量 $Y \sim N(0,3^{2})$,则（　　）

10. 已知函数 $f(x) = x^{3}+ ax^{2}-2x+1$,则（　　）

11. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和, $a_{n}=\dfrac{n-36}{2n-15}(n\in\mathbf{N}^{*})$,则（　　）

12. $(1+\dfrac{1}{x^{2}})(1-x)^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $\underline{\qquad}$.

13. 已知函数 $f(x) = 5 \ln x - 2 f'(1)x^{2}-1$,则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $\underline{\qquad}$.

14. 在棱长为 $1$ 个单位的正四面体 $ABCD$上,一个质点在随机外力的作用下从顶点 $A$ 出发,每隔 $1$ 秒等可能地沿着棱移动 $1$ 个单位,移动的方向是随机的.设经过 $n$ 秒 $(n\in\mathbf{N}^{*})$ 后,质点位于平面 $BCD$ 的概率为 $P_{n}$,则 $P_{3}=$ $\underline{\qquad}$, $P_{4}=$ $\underline{\qquad}$.

15. (本小题满分 $13$ 分)一个袋子中有大小相同的 $6$ 个小球,分别标记着 $1,2,2,3,4,5$,现从中随机摸出 $3$ 个小球.记摸到的小球上的数字的最小值为 $X$.

(1) 求 $P(X=2)$ ;

(2) 求 $X$ 的分布列和数学期望.

16. (本小题满分 $15$ 分)如图,在四棱锥 $P-ABCD$ 中,底面 $ABCD$ 为矩形, $PA\perp$ 平面 $ABCD$, $AB = AP=1$, $AD = \sqrt{3}$, $E$ 为 $PD$ 的中点.

(1) 证明: $PB\text{//}$平面 $AEC$;

(2) 求二面角 $D-AE-C$ 的余弦值.

17. (本小题满分 $15$ 分)已知各项均为正数的数列$\{a_{n}\}$的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, $a_{2}= 2$, $\displaystyle S_{n}=\frac{1}{2}{a_{n+2}}-1(n\in\mathbf{N}^{*})$.

(1) 若$\{a_{n}\}$为等比数列,求 $a_{1}$ 和数列$\{na_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$;

(2) 若 $a_{1}= a_{2}$,求数列$\{a_{n}\}$的通项公式.

18. (本小题满分 $17$ 分) 已知函数 $f(x) = e^{x}-ax$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;

(2) 若 $f(x)\geq 0$,求实数 $a$ 的取值范围;

(3) 当 $a=2$ 时,若关于 $x$ 的方程 $f(x) = t(t\in\mathbf{R})$ 有两个实根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$,求证: $|x_{1}-x_{2}| <3t-1$.

19. (本小题满分 $17$ 分)甲乙两名选手参加某球类比赛,比赛采用积分制:赛满奇数局,赢 $1$ 局得 $2$ 分,输者不得分,积分多者胜.已知甲选手每局比赛获胜的概率为 $p(\dfrac{1}{2}<p<1)$,每局比赛的结果相互独立.

(1) 若两人共进行了 $3$ 局比赛,且 $p=0.6$,求甲最终获胜的概率及甲得分的方差;

(2) 若两人共进行了 $2n-1$ 局 $(n\in\mathbf{N}^{*})$ 比赛,甲最终获胜的概率为 $P_{n}$,证明: $P_{n+1}> P_{n}$,并说明其统计意义.