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设 $y=f(x)$ 是定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数, 且满足条件:

① $f(-1)=f(1)=0$;

② 对任意的 $u,v\in [-1,1]$, 都有 $|f(u)-f(v)|\le |u-v|$.

(1) 证明: 对任意的 $x\in [-1,1]$, $x-1\le f(x)\le 1-x$;

(2) 判断函数 $g(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& x\in [-1,0),\\ 1-x,& x\in [0,1],\end{array}$ 是否满足题设条件;

(3) 在区间 $[-1,1]$ 上是否存在满足题设条件的函数 $y=f(x)$, 且使得对任意的 $u,v\in [-1,1]$, 都有 $|f(u)-f(v)|=u-v$, 若存在, 请举一例; 若不存在, 请说明理由.